Discriminant

Définition  

Soit `a` ,  `b` et  `c` trois réels tels que \(a \neq 0\) .

On appelle discriminant du trinôme \(az^2+bz+c\)  le nombre réel, noté `\Delta` , défini par  `\Delta = b^2 -4ac` .

Théorème

Soit `a` ,  `b` et  `c` trois réels tels que \(a \neq 0\) . Soit `\Delta=b^2-4ac`   le discriminant du trinôme \(az^2+bz+c\) .

On considère l'équation d'inconnue `z \in \mathbb{C}`  : \((E) \colon \ az^2+bz+c=0\) .

1. Si `\Delta>0` , alors `(E)` admet deux solutions réelles distinctes : \(S=\left\{ \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} ; \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \right\}\) .

2. Si `\Delta=0` , alors  `(E)` admet une unique solution réelle : \(S=\left\{ \dfrac{-b}{2a} \right\}\) .

3. Si `\Delta<0` , alors   `(E)` admet deux solutions complexes conjuguées : \(S=\left\{ \dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} ; \dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a} \right\}\)

Démonstration

1. Soit `z \in \mathbb{C}` . Comme \(a \neq 0\) , on a :
\(\begin{align*} az^2+bz+c = a\left[z^2+\frac{b}{a}z+\frac{c}{a}\right] & = a\left[z^2+2 \times \frac{b}{2a}z +\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}\right] \\ & = a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right] \\ & = a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2}\right] \\ & = a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right] \\ & = a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right] \end{align*}\)

et donc, en utilisant de nouveau que \(a \neq 0\) , on a : \(\begin{align*} az^2+bz+c=0 & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}=0 \ \ (\star). \end{align*}\)

2. Si `\Delta=0` , l'égalité \((\star)\) s'écrit :
\(\begin{align*} \left(z+\frac{b}{2a}\right)^2=0 \ \ \Longleftrightarrow \ \ z+\frac{b}{2a}=0 \ \ \Longleftrightarrow \ \ z=-\frac{b}{2a} \end{align*}\)
et donc \(S=\left\{\dfrac{-b}{2a}\right\}\) .

3. Si \(\Delta>0\) , alors \(\Delta=\left(\sqrt{\Delta}\right)^2\) et l'égalité \((\star)\) peut s'écrire : 
\(\begin{align*} \left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\left(\sqrt{\Delta}\right)^2}{(2a)^2}=0 & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2=0 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left(z+\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(z+\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=0 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ z+\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}=0 \ \ \text{ ou } \ \ z+\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}=0 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ z=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \ \ \text{ ou } \ \ z=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \end{align*}\)
et donc \(S=\left\{\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a};\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right\}\) .

Si `\Delta<0` , alors \(-\Delta>0\)  et donc \(\sqrt{-\Delta}\) est bien définie. L'égalité \((\star)\) peut s'écrire :
\(\begin{align*} \left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{-\left(\sqrt{-\Delta}\right)^2}{(2a)^2}=0 & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{i^2\left(\sqrt{-\Delta}\right)^2}{(2a)^2}=0 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)^2=0 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left(z+\frac{b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)\left(z+\frac{b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)=0 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ z+\frac{b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}=0 \ \ \text{ ou } \ \ z+\frac{b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}=0 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ z=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} \ \ \text{ ou } \ \ z=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a} \end{align*}\)
et donc \(S=\left\{\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a};\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right\}\) .

Remarque

Dans le cas où \(\Delta<0\) , les solutions de \((E)\) sont conjuguées : il suffit d'en calculer une pour trouver l'autre par conjugaison.